第二章　纳什均衡

可以说，纳什均衡是博弈的解，也是博弈论的核心。在本章中，我将通过具体案例来为大家详细讲解纳什均衡。博弈论中的经典模型——“男女博弈”也将在本章中登场。



每个局中人的策略都是对其他局中人策略的最优反应


～什么是纳什均衡？①～


著名数学家约翰·纳什曾为博弈提出了一种解决方法。在博弈论中，局中人都想为自己赢得最好的收益而采取适当的策略。纳什将局中人的这种基本行为规则称为“最优反应”。而让每个局中人选择的策略都是最优反应的一套策略组合，就是这个博弈的解。这个解处于一种均衡的状态，非常稳定。如果有局中人打破这种均衡，选择其他策略，那么他的收益注定会减少，因此他不愿意打破这种均衡的状态。这种均衡的状态就被命名为“纳什均衡”。简单地说，纳什均衡就是所有局中人都对自己选择的策略感到满意，对于得到的结果也不会后悔。

我们来看一个简单的博弈例题。假设有一对兄弟，祖父想给他们总计100万日元的财产。但是有一个规则，需要兄弟二人同时报出一个自己想要的金额，这个金额必须在0～100万之间，而且以1万为最小单位。如果二人报出的数字相加不高于100万，那么他们可以得到与自己所报数字相同的财产。但如果兄弟二人所报数字之和高于100万，则两个人一分钱也得不到。

我们肯定会想，兄弟二人每人报50万，应该没什么问题。两人申报的数额相加正好等于100万，祖父就会按照事先的约定，给他们每人50万日元。这种状态就是纳什均衡，即不管哥哥还是弟弟，都会对自己的策略和收益感到满意。

但是，如果哥哥生性贪婪，爱占弟弟便宜，从小到大，不管什么都要得到弟弟的两倍才肯罢休，那结果又会如何呢？假设弟弟非常了解哥哥的霸道性格，因此他知道，如果自己报50万，结果很可能两个人一分钱都得不到。知道哥哥肯定会报双倍于自己的数额，那么弟弟为了获得最大收益的最优反应就是报33万。

这样一来，弟弟报的数额是33万，哥哥报的是67万，比弟弟的两倍还多一点儿。结果，二人所报数额相加等于100万，两人分别得到33万和67万，两人都满意，这也是纳什均衡。但是，如果弟弟报的是33万，而哥哥这次良心发现，只报了50万。结果，两人合计83万，低于100万。虽然最终各自拿到了相应数额的财产，但两人肯定都会后悔。哥哥心想，我再多报17万就好了。而弟弟心想，我报50万就好了。因此，弟弟报33万，哥哥报50万，就不算纳什均衡。

可以说，纳什均衡是一种对手的收益不会减少、自己的收益不会增加，谁也无法单独改变策略的状态。在纳什均衡中，假定局中人之间不会相互合作，对方的行动也无法改变。就像两个数相加得100万，我们可以列出很多种组合方式一样，人所参与的博弈也不一定只有一种纳什均衡。某些情况下，同一个博弈会有多个纳什均衡。



～什么是纳什均衡？②～


现在我们以第一章中的例题1-2“评价成绩博弈”为例，解说一下纳什均衡的求法。在例题1-2的博弈中，不管对方采取什么样的策略，自己的最优反应是选择“α”（表1-13），即策略“α”强支配着策略“β”。另外，对方的最优反应也是不管我们采取什么样的策略都选择“α”（表1-21）。

我们将这两个收益表综合到一起，结果发现，有一个单元中没有任何收益，用红线勾掉了。这个单元相对应的策略，便是局中人相互采取的最优反应的策略组合。而这个策略组合，也就是纳什均衡（表1-22）。

纳什均衡是指博弈中的所有局中人都采取了最优策略，没有更好的策略可选，从而达到了一种稳定的状态。实现这种稳定状态的策略组合就是纳什均衡。只要对方选择“α”，我们也只能选择“α”，因为我们选择“β”的话，收益就下降了。同样的道理，只要我们选择“α”，对方也不能改变策略，只能选择“α”。这就是一种均衡状态。

不过，虽说纳什均衡是指博弈中的所有局中人都做出了最优反应，但并不等于所有局中人一定都能获得该博弈中的最高收益。在例题1-2的博弈中，最高成绩是A，但两名局中人不可能同时获得A。



约会的时候，需要迎合对方的行为和感受吗？


～男女博弈/纳什均衡①～


我们再来看一道纳什均衡的例题。相信有不少年轻的情侣一到周末就会为一件事情发愁，那就是“去哪里约会比较好”。在选择约会地点、约会方式的时候，是该迎合对方的喜好，还是自作主张呢？如果你觉得分手也无所谓，那当然可以按照自己的喜好做决定。但是，如果你很珍惜这段感情，希望双方都能度过一个愉快的周末，那到底该怎么决定约会的地点和方式呢？

◎例题2-1男女博弈

假设有一对刚开始交往不久的情侣，男的叫猴太郎，女的叫猴美。有一天，他们讨论起周末的约会计划。猴太郎喜欢足球，他想利用周末去看足球比赛。猴美喜欢看爱情电影，正值一部新片上映，她想去看电影。两人的兴趣存在差异，如果各行其是的话，就会浪费美好的周末约会时间，这是两人不想看到的结果。如果两人一起去看足球比赛，猴太郎是高兴了，猴美就不太开心了。反之，如果两人都去看爱情电影，猴美很欢喜，但猴太郎就有点儿不乐意了。那么，到底该选择什么样的约会方式呢？让我们从博弈论的角度来分析一下这个问题，希望找到对双方来说都是最好的选择。

局中人：猴太郎和猴美

策略：“看足球比赛”和“看电影”

收益：如果各行其是的话，双方都不开心，所以两人的收益都为0；如果两人都去看足球比赛，猴太郎的收益是10，但猴美的收益只有3；如果两人都去看电影，猴美的收益是10，但猴太郎的收益只有3。



～男女博弈/纳什均衡②～


在这道例题中，我们首先来确认一下是否存在支配性策略。根据对手的策略，我们将自己不是最优反应的策略（收益较小的一方）用横线勾掉。

当猴美选择看足球比赛时，猴太郎的最优反应是看足球比赛，看电影就不是最优反应。于是，我们用横线将看电影的收益勾掉。当猴美选择看电影时，猴太郎的最优反应是看电影，看足球比赛就不是最优反应，因此用横线将看足球比赛的收益勾掉。

同样，当猴太郎选择看足球比赛时，猴美的最优反应是看足球比赛，看电影就不是最优反应。于是，用横线将看电影的收益勾掉。当猴太郎选择看电影时，猴美的最优反应也是看电影，此时看足球比赛就不是猴美的最优反应，因此用横线将看足球比赛的收益勾掉。

在这个博弈中，不管对方采取什么样的策略，让自己收益较高或相等的策略是不存在的。也就是说，这个博弈中没有支配性策略
m.qiduwx.com提示您，本章没有阅读完，点击下一页进入下一页阅读！